第十章 电荷和静电场

第一节 电荷和库仑定律

电荷

1. 电离：原子失去或得到电子的过程
2. 电荷守恒定律：孤立系统的电荷总量保持不变
3. 电荷的量子化：电荷量只能取分立的、不连续数值的性质 q = ne
4. 电荷是相对论性不变量
5. 起电的方法： 摩擦、接触、感应
   

   库仑定律

6. 点电荷：带电体自身的大小远小于带电体之间的距离时，可认为该带电体是点电荷
   条件：
7. 条件： 真空、静止、点电荷
8. 表达式

   \overrightarrow{F_{12}}=\frac{1}{4\pi{\varepsilon_0}}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}(\frac{\overrightarrow{r_{12}}}{r_{12}})

9. 真空电容率\varepsilon_0 = 8.854187817 \times 10^{-12} ~~C^2 \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}
   

   第二节 电场和电场强度

电场

1. 当物质带电时，其周围就有电场，如果电荷相对于观察者是静止的，那么他周围的电场就称为静电场
2. 任何一个进入其中的电荷都将受到由该电场传递的力的作用，称为电场力
   

   电场强度

   试探电荷：电荷量非常小的点电荷
   电场强度

   \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{F}}{q_0}

   电场强度的计算

3. 点电荷的电场强度

   \overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi{\varepsilon_0}}\frac{q}{r^3}\vec{r}

4. 多个点电荷产生的电场
   电场强度的叠加原理\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_1} + \overrightarrow{E_2} + \dots + \overrightarrow{E_n}

   \overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi{\varepsilon_0}}\mathop{\sum_{i=1}^{n}}\frac{q_i}{r_i^3}\vec{r_i}

5. 任意带电体产生的电场
   微分

   d\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^3}\vec{r}

   即

   \overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r^3}\vec{r}

   引入电荷密度

   \rho = \mathop{\lim_{{\Delta\tau} \to 0}}\frac{\Delta{q}}{\Delta{\tau}}

   式中\Delta\tau \to 0是物理无限小，而不是数学上的无限小，指宏观上看非常小，而微观上看非常大
   则

   \overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho{d\tau}}{r^3}\vec{r}

   第三节 高斯定理

   电场线:

   规定：

   • 曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向平行
   • 在与电场强度垂直的单位面积上，穿过曲线的条数与该处电场强度的大小成正比

静电场的电场线：

• 起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）
• 不闭合，不在没有电荷的地方中断
• 在没有电荷的地方不相交

电场强度通量

记垂直于电场强度的面积为dS，穿过的电场线条数为d\Phi_e，那么

E \propto \frac{d\Phi_e}{dS}

取系数为1

E = \frac{d\Phi_e}{dS}

也就是说

\Phi_e = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{S}

\Phi_e = \int_S{\overrightarrow{E} \cdot {d\overrightarrow{S}}}

对于闭合曲面，穿入为正，传出为负

高斯定理

\oint_S{\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}}\mathop{\sum_{s内}}q ~~~~~~或者说 \oint_S{\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}}\int{\rho}d\tau 

微分形式

\overrightarrow\nabla \cdot \overrightarrow{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho

高斯定理的证明

第四节 电势及其与电场强度的关系

静电场属于保守场

静电力是保守力

\oint_L\overrightarrow{E}\cdot{d\overrightarrow{l}}=0

电势能、电势差和电势

1. 电势能
   P、Q的电势能之差 A_{PQ} = \int_{P}^{Q}q_0\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = - (W_Q - W_P)
2. 电势差
   P、Q两点的电势差V_P - V_Q = \int_{P}^{Q}\overrightarrow{E}\cdot{d}\overrightarrow{l}

电势的计算

V_P = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{dq}{r}

高斯定理求得电场，再求电势

等势面

电势与电场强度的关系

\begin{aligned}
q_0dV &= -q_0\overrightarrow{E}\cdot{d}\overrightarrow{l}\\
\Rightarrow Ecos\theta &= -\frac{dV}{dl}\\
\Rightarrow E_l &= -\frac{\partial{V}}{\partial{l}}
\end{aligned}

也就是说

E_x = -\frac{\partial{V}}{\partial{x}} ~~~ E_y = -\frac{\partial{V}}{\partial{y}} ~~~ E_z = -\frac{\partial{V}}{\partial{z}}

\overrightarrow{E} = - \overrightarrow\nabla{V}

又有

E = -\frac{\partial{V}}{\partial{n}}\vec{e}_n

因此

\frac{\partial{V}}{\partial{n}}\vec{e}_n = \overrightarrow\nabla{V}

第五节 静电场中的金属导体

不考 不写

第六节 电容和电容器

孤立导体的电容

C = \frac{Q}{V}

孤立导体的电容C只决定于导体自身的几何因素，而与所带电荷和电势无关的常量，它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力，即孤立导体的电容只决定于导体自身的大小和形状。

电容器

电容器的电容也只取决于导体的几何形状和排列位置，与所带电荷量无关

C = \frac{Q}{U}

电容的计算

平行板电容器：C = \frac{\varepsilon_0S}{d}
同心球形电容器： C = \frac{4\pi\epsilon_0R_AR_B}{R_A-R_B} B套A
同轴柱形电容器： C = \frac{2\pi\varepsilon_0l}{ln{\frac{R_B}{R_A}}}

运用上节电势的计算 求电势差

第七节 静电场中的电介质

不考

第八节 静电场的能量

静电场的能量公式

w_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2s

第十一章 电流和恒磁场

第一节 恒定电流的条件和导电规律

电流和电流密度

电流 I = \frac{dQ}{dt}
电流密度 \vec{j} = \frac{dI}{dS}\vec{e}_n 构成电流场

I = \int_S\vec{j} \cdot d\vec{S}

电流的连续性方程和恒定电流条件

\oint_S \vec{j} \cdot d{\vec{S}} = - \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}\int_\tau{\rho}d\tau

也就是

\overrightarrow\nabla \cdot \overrightarrow{j} = -\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}

恒定电流：其电流场不随时间变化的电流， 条件\oint_S\vec{j}\cdot d{\vec{S}} = 0
恒定电场：分布不随时间变化的电荷所激发的电场，与静电场有相同的性质，统称为库伦电场

导体的电阻

R = \frac{U}{I}

导体的电阻率

\rho = \frac{E}{j}

欧姆定律

I = \frac{U}{R}  ~~~~~~~~~~~~~~~\vec{j}=\sigma{\overrightarrow{E}}

电功率和焦耳定律

电动势

电源：提供非静电力的装置
电源的电动势：

E = \int_{-}^{+}{\vec{E_k} \cdot d{\vec{l}}}

\vec{E}_k是非静电性电场
非静电场也可能存在于整个电路

E = \oint{\vec{E_k} \cdot d{\vec{l}}}

第二节 磁场和磁感应强度

磁现象

磁感应强度

\overrightarrow{F} = q_0\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}

磁感应线和磁通量

磁感应线：

• 曲线上每一点的切线方向与该点磁感应强度方向一致
• 在与磁场垂直的单位面积上穿过曲线的条数，与该处的磁感应强度成正比

磁感应管：
由一簇磁感应线所围成的管状区域

磁通量

\Phi = \int_S\overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{S} ~~~~~ 单位Wb = T \cdot m^2

第三节 毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id{\overrightarrow{l}}\times \overrightarrow{r}}{r^3}

电流元Id{\overrightarrow{l}}在空间某点P产生的磁感应强度d\overrightarrow{B}的大小与电流元Id{\overrightarrow{l}}的大小成正比，与电流元和由电流元到点P的矢量\overrightarrow{r}之间的夹角的正弦成正比，与电流元到点P的距离的平房成反比;d\overrightarrow{B}垂直于Id\overrightarrow{l}和\overrightarrow{r}所组成的平面

其中\mu_0 = 4\pi \times 10^{-1} ~ T \cdot m \cdot A^{-1}，为真空磁导率

直导线电流I的磁感应强度 B = \frac{\mu_0I}{4\pi{a}}\int_{\alpha_1}^{\alpha^2}sin\alpha d\alpha， 方向使用右手螺旋定则
圆形载流导线的磁感应强度 B = \frac{\mu_0R^2I}{2(R^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}}

磁矩

圆形电流产生的磁场的磁感应强度是对称分布的，其他的一些磁场也相似，于是我们引入磁矩来描述圆形电流或者载流平面线圈的磁行为

\overrightarrow{m} = IS\overrightarrow{e_n}

第四节 磁场的高斯定理和安培环路定理

根据毕奥-萨伐尔定律，电流元产生的磁感线是一系列同心圆，因此有

\oint_S\overrightarrow{B} \cdot d{\overrightarrow{S}} = 0

这就是磁场的高斯定理，微分形式为\overrightarrow\nabla \cdot \overrightarrow{B} = 0

安培环路定理

\oint_L\overrightarrow{B} \cdot d{\overrightarrow{l}} = \mu_0\sum_{i}I_i

根据斯托克斯定理

\oint_L\overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{B}) \cdot d\overrightarrow{S} 

所以有

\int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{B}) \cdot d\overrightarrow{S} = \mu_0\sum_{i}I_i

微分

\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{B} = \mu_0\overrightarrow{j}

载流螺线环的磁场B = \frac{\mu_0NI}{2{\pi}{r}}
载流长直螺线管磁场分布B = \mu_0nI = \mu_0\frac{N}{l}I

第五节 磁场对电流的作用

安培定律

\overrightarrow{F} = \int_LId\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}

两平行长直电流之间的相互作用

安培的定义：
A这个单位是根据真空中两根平行的无限长载流直导线的相互作用导出的，导线间的相互作用里在每米长度上为x \times 10^{-7} ~N，则每根导线中的电流为1~A

磁场对载流线圈的作用

线圈的磁力矩

\overrightarrow{M} = \overrightarrow{m} \times {\overrightarrow{B}}

第六节 带电粒子在磁场中的运动

不考

第七节 磁介质的磁化

不考

第八节 铁磁性

不考

第十二章 电磁感应

第一节 电磁感应及其基本规律

电磁感应现象

1. 磁场相对于线圈或导体回路改变大小或方向所引起的电磁感应现象
2. 线圈或导体回路相对于磁场改变面积或取向所引起的电磁感应现象

只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该导体回路中就会产生感应电动势

电磁感应定律

1. 法拉第电磁感应定律

   E = -\frac{d\Phi}{dt}

   注：方向判定

2. 楞次定律
   闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
   即感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

感应电动势

1. 动生电动势

   \mathcal{E_D} = \int_-^+\overrightarrow{E_D} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_-^+(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \times d\overrightarrow{l}

2. 感生电动势

   \mathcal{E_W} = \oint_L\overrightarrow{E_w} \cdot d\overrightarrow{l} = -\frac{d\Phi_e}{dt} = -\int_S\frac{\partial{\overrightarrow{B}}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}

   全电场

   \overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_C} + \overrightarrow{E_W}

   全电场的环路积分

   \oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = \oint_L(\overrightarrow{E_C} + \overrightarrow{E_W}) \cdot d\overrightarrow{l} = \oint_L\overrightarrow{E_W} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}

   根据斯托克斯公式

   \oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E}) \cdot d\overrightarrow{S}

   于是

   \int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E}) \cdot d\overrightarrow{S} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S} 

   即

   \overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}}

第二节 互感和自感

1. 互感
   当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间会产生变化的磁场，从而在处于此空间的另一个线圈中会产生感应电动势

   \Phi_{12}=M_{12}I_1 ~~~ \Phi_{21} = M_{21}I2

   可以证明M_{21} = M_{12}

2. 自感
   当一个线圈中的电流变化时，激发的变化磁场引起了线圈自身磁通量的变化，从而在线圈自身产生感应电动势，称为自感电动势

   \Phi = LI

   \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt}

   第三节 涡流和趋附效应

   不考

第四节 磁场的能量

对于一个螺绕环，在0到t_0时间内有

\mathcal{E} + \mathcal{E_L} = iR

其中自感电动势\mathcal{E_L} = -\frac{d\Phi}{dt} = -nlS\frac{dB}{dt}
因此

\begin{aligned}
\mathcal{E} &= iR + nlS\frac{dB}{dt} \\
\mathcal{E}idt = i^2Rdt + nlSidB
\end{aligned}

显然左边是电源对电路做的功，右边第一项是焦耳热，第二项就是磁场能

不难知道环内的磁感应强度为H = ni，因此磁场能量密度可以表示为

w_m = \int_0^BHdB

这也是磁场能量密度的一般表达式
对于各项同性的顺磁质和抗磁质，B = \mu_0\mu_rH
可以得出

w_m = \frac{1}{2}\mu_0\mu_rH = \frac{1}{2}BH

W_m = \int_\tau\frac{1}{2}BHd\tau

螺线环的自感为L = {\mu}n^2lS，W_m = \frac{1}{2}LI^2

第五节 超导体的电磁特性

不考

第六节 麦克斯韦电磁理论

位移电流

引入：恒稳磁场的安培环路定理不适用于非恒稳电流的磁场

电流的连续性方程

\oint_S \vec{j} \cdot d{\vec{S}} = - \frac{dq}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_\tau{\rho}d\tau

电场的高斯定理

\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_\tau\rho_0d\tau

可得

\oint_S \vec{j} \cdot d{\vec{S}} + \frac{d}{dt}\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = 0 

也就是说

\oint_S (\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d{\vec{S}} = 0

在非恒静条件下，矢量\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}是连续的，麦克斯韦把\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial{t}}叫做位移电流密度，把\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}叫做全电流密度
全电流的连续性，表示传导电流与位移电流之和是连续的，在传导电流中断的的当，必定有等量的位移电流接续辖区

• 位移电流同传导电流一样 具有磁效应
• 二者产生机理不同，存在条件不同
• 位移电流可以存在于真空、导体、介质中
• 位移电流不产生焦耳热

将安培环路定理中的传导电流取代

\oint_L\overrightarrow{H} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_S (\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d\overrightarrow{S}

我们知道\overrightarrow{D} = \varepsilon_0\overrightarrow{E} + \overrightarrow{P}，所以

\vec{j}_d = \varepsilon_0\frac{\partial{\overrightarrow{E}}}{\partial{t}} + \frac{\partial\overrightarrow{P}}{\partial{t}}

第一项是电场随时间变化所贡献的位移电流
第二项是介质的极化状况随时间变化所贡献的位移电流

麦克斯韦方程组

\begin{aligned}
\begin{cases}
\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_v\rho_0d\tau \\
\oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}\\
\oint_S\overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{S} = 0\\
\oint_L\overrightarrow{H} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_S(\overrightarrow{j_0} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d\overrightarrow{S}
\end{cases}
\end{aligned}

微分形式

\begin{aligned}
\begin{cases}
\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_0\\
\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}}\\
\overrightarrow\nabla \cdot \overrightarrow{B} = 0\\
\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{H} = \overrightarrow{j_0} + \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial{t}}
\end{cases}
\end{aligned}

第七节 电磁波的产生和传播

不考

第八节 电磁波理论

不考

第九节 电磁场的能量和动量

不考

第十三章 电路和磁路

第一节 基尔霍夫定律

电分学了

1. 基尔霍夫第一定律
   汇集同一节点的各支路电流的代数和必定为零

   \sum_i(\pm{I_i}) = 0

   依据：恒定电流的条件\oint_S\overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{S} = 0

2. 基尔霍夫第二定律
   一个回路中电阻上电势降落的代数和必定等于电源电动势的代数和

   \sum_i({\pm}I_iR_i) = \sum_i(\pm{\mathcal{E_i}})

   依据：静电场的环路定理\oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = 0

第二节 交流电和交流电路的基本概念

电分学了

交流电的类型

描述简谐交流电的特征量

1. 频率和周期
2. 峰值和有效值
3. 相位和初相位
   

   单元件的阻抗和相位差

4. 电阻 Z = R \varphi = 0
5. 电感 Z =\omega{L} \varphi = \frac{\pi}{2}
6. 电容 Z = \frac{1}{\omega{C}} \varphi = -\frac{\pi}{2}
   

   第三节 交流电路的矢量图解法

   电分学了

   第四节 交流电路的复数解法

   电分学了

   第五节 交流电的功率

   电分学了

   第六节 串联共振电路

   电分学了

   第七节 磁路和磁路定律

   不考

第十二章 电磁感应

第一节 电磁感应及其基本规律

电磁感应现象

1. 磁场相对于线圈或导体回路改变大小或方向所引起的电磁感应现象
2. 线圈或导体回路相对于磁场改变面积或取向所引起的电磁感应现象

只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该导体回路中就会产生感应电动势

电磁感应定律

1. 法拉第电磁感应定律

   E = -\frac{d\Phi}{dt}

   注：方向判定

2. 楞次定律
   闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
   即感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

感应电动势

1. 动生电动势

   \mathcal{E_D} = \int_-^+\overrightarrow{E_D} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_-^+(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \times d\overrightarrow{l}

2. 感生电动势

   \mathcal{E_W} = \oint_L\overrightarrow{E_w} \cdot d\overrightarrow{l} = -\frac{d\Phi_e}{dt} = -\int_S\frac{\partial{\overrightarrow{B}}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}

   全电场

   \overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_C} + \overrightarrow{E_W}

   全电场的环路积分

   \oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = \oint_L(\overrightarrow{E_C} + \overrightarrow{E_W}) \cdot d\overrightarrow{l} = \oint_L\overrightarrow{E_W} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}

   根据斯托克斯公式

   \oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E}) \cdot d\overrightarrow{S}

   于是

   \int_S(\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E}) \cdot d\overrightarrow{S} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S} 

   即

   \overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}}

第二节 互感和自感

1. 互感
   当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间会产生变化的磁场，从而在处于此空间的另一个线圈中会产生感应电动势

   \Phi_{12}=M_{12}I_1 ~~~ \Phi_{21} = M_{21}I2

   可以证明M_{21} = M_{12}

2. 自感
   当一个线圈中的电流变化时，激发的变化磁场引起了线圈自身磁通量的变化，从而在线圈自身产生感应电动势，称为自感电动势

   \Phi = LI

   \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt}

   第三节 涡流和趋附效应

   不考

第四节 磁场的能量

对于一个螺绕环，在0到t_0时间内有

\mathcal{E} + \mathcal{E_L} = iR

其中自感电动势\mathcal{E_L} = -\frac{d\Phi}{dt} = -nlS\frac{dB}{dt}
因此

\begin{aligned}
\mathcal{E} &= iR + nlS\frac{dB}{dt} \\
\mathcal{E}idt = i^2Rdt + nlSidB
\end{aligned}

显然左边是电源对电路做的功，右边第一项是焦耳热，第二项就是磁场能

不难知道环内的磁感应强度为H = ni，因此磁场能量密度可以表示为

w_m = \int_0^BHdB

这也是磁场能量密度的一般表达式
对于各项同性的顺磁质和抗磁质，B = \mu_0\mu_rH
可以得出

w_m = \frac{1}{2}\mu_0\mu_rH = \frac{1}{2}BH

W_m = \int_\tau\frac{1}{2}BHd\tau

螺线环的自感为L = {\mu}n^2lS，W_m = \frac{1}{2}LI^2

第五节 超导体的电磁特性

不考

第六节 麦克斯韦电磁理论

位移电流

引入：恒稳磁场的安培环路定理不适用于非恒稳电流的磁场

电流的连续性方程

\oint_S \vec{j} \cdot d{\vec{S}} = - \frac{dq}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_\tau{\rho}d\tau

电场的高斯定理

\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_\tau\rho_0d\tau

可得

\oint_S \vec{j} \cdot d{\vec{S}} + \frac{d}{dt}\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = 0 

也就是说

\oint_S (\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d{\vec{S}} = 0

在非恒静条件下，矢量\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}是连续的，麦克斯韦把\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial{t}}叫做位移电流密度，把\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}叫做全电流密度
全电流的连续性，表示传导电流与位移电流之和是连续的，在传导电流中断的的当，必定有等量的位移电流接续辖区

• 位移电流同传导电流一样 具有磁效应
• 二者产生机理不同，存在条件不同
• 位移电流可以存在于真空、导体、介质中
• 位移电流不产生焦耳热

将安培环路定理中的传导电流取代

\oint_L\overrightarrow{H} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_S (\vec{j} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d\overrightarrow{S}

我们知道\overrightarrow{D} = \varepsilon_0\overrightarrow{E} + \overrightarrow{P}，所以

\vec{j}_d = \varepsilon_0\frac{\partial{\overrightarrow{E}}}{\partial{t}} + \frac{\partial\overrightarrow{P}}{\partial{t}}

第一项是电场随时间变化所贡献的位移电流
第二项是介质的极化状况随时间变化所贡献的位移电流

麦克斯韦方程组

\begin{aligned}
\begin{cases}
\oint_S\overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_v\rho_0d\tau \\
\oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_S\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}} \cdot d\overrightarrow{S}\\
\oint_S\overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{S} = 0\\
\oint_L\overrightarrow{H} \cdot d\overrightarrow{l} = \int_S(\overrightarrow{j_0} + \frac{\partial{\overrightarrow{D}}}{\partial{t}}) \cdot d\overrightarrow{S}
\end{cases}
\end{aligned}

微分形式

\begin{aligned}
\begin{cases}
\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_0\\
\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}}\\
\overrightarrow\nabla \cdot \overrightarrow{B} = 0\\
\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow{H} = \overrightarrow{j_0} + \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial{t}}
\end{cases}
\end{aligned}

第七节 电磁波的产生和传播

不考

第八节 电磁波理论

不考

第九节 电磁场的能量和动量

不考

第十三章 电路和磁路

第一节 基尔霍夫定律

电分学了

1. 基尔霍夫第一定律
   汇集同一节点的各支路电流的代数和必定为零

   \sum_i(\pm{I_i}) = 0

   依据：恒定电流的条件\oint_S\overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{S} = 0

2. 基尔霍夫第二定律
   一个回路中电阻上电势降落的代数和必定等于电源电动势的代数和

   \sum_i({\pm}I_iR_i) = \sum_i(\pm{\mathcal{E_i}})

   依据：静电场的环路定理\oint_L\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = 0

第二节 交流电和交流电路的基本概念

电分学了

交流电的类型

描述简谐交流电的特征量

1. 频率和周期
2. 峰值和有效值
3. 相位和初相位
   

   单元件的阻抗和相位差

4. 电阻 Z = R \varphi = 0
5. 电感 Z =\omega{L} \varphi = \frac{\pi}{2}
6. 电容 Z = \frac{1}{\omega{C}} \varphi = -\frac{\pi}{2}
   

   第三节 交流电路的矢量图解法

   电分学了

   第四节 交流电路的复数解法

   电分学了

   第五节 交流电的功率

   电分学了

   第六节 串联共振电路

   电分学了

   第七节 磁路和磁路定律

   不考

第十四章 光学

第一节 几何光学中的基本定律和原理

不考

第二节 光在球面上的折射

不考

第三节 光在球面上的反射

不考

第四节 薄透镜

不考

第五节 光波及其相干条件

光波

我们知道光是一种电磁波，其\overrightarrow{E}和\overrightarrow{B}相互垂直，其中引起感光作用和生理作用的主要是电矢量\overrightarrow{E}，因此我们把电矢量\overrightarrow{E}称为光矢量，把电矢量\overrightarrow{E}的振动称为光振动

光波的平均能流密度就是波的强度，即光强，用I来表示

I = \overline{S}=\frac{1}{2}E_0H_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_0^2=\frac{n}{2\mu{c}}E_0^2

研究相对分布时，往往取

I = E_0^2 = E_0E_0^*

\begin{aligned}
E &= E_0cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega{t} - \varphi_0)\\
\widetilde{E}(\vec{r}, t) &= E_0e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega{t} - \varphi_0)} = E_0e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \varphi_0)}e^{- i\omega{t}} = \widetilde{E}(\vec{r})e^{-i\omega{t} }
\end{aligned}

光程

光程

L = \sum_i{n_ix_i}

相干条件

由光波的叠加而引起光强重新分布的现象，叫做光的干涉
干涉项不为零的叠加，叫做相干叠加，光波的相干条件就是相干叠加的必要条件

光程差

\delta = k_2r_2 - k_1r_1 - (\varphi_2 - \varphi_1)

式中\varphi_2 - \varphi_1在长时间内的均值为0，因此取

\delta = k_2r_2 - k_1r_1 = \frac{2\pi}{\lambda}{l_2 - l_1}

获取相干光波的方法

• 分波前法：当从同一个点光源或线光源发出的光波到达某平面时，由该平面上分理处两部分。如杨氏双缝干涉
• 分振幅法：利用透明薄膜的上下两个表面对入射光进行反射，产生两束反射光和一束反射光与一束透射光。如薄膜干涉、迈克尔孙干涉仪
• 分振动面法：利用某些晶体的双折射性质，可将一束光分解在分振动面垂直的两束光
  

  第六节 杨氏双缝干涉

  ![[Pasted image 20240704130648.png]]
  显然两束光的初相位始终相同，P点处亮条纹条件为

  2\pi\frac{\Delta}{\lambda} = 2k\pi ~~~~\Rightarrow \Delta=2k\frac{\lambda}{2}

  暗条纹条件为

  2\pi\frac{\Delta}{\lambda} = (2k + 1)\pi ~~~~ \Rightarrow \Delta=(2k + 1)\frac{\lambda}{2}

  容易知道

  (r_1 + r_2)(r_2 - r_1) = 4ax
  ~~~~\Rightarrow 2D\Delta=4ax ~~~~\Rightarrow \Delta=\frac{2a}{D}x

  条纹间距

  \Delta{x} = \frac{D\lambda}{2a} = \frac{D\lambda}{d}

  第七节 薄膜干涉

  等倾干涉

  ![[Pasted image 20240704131358.png]]
  我们直接给出最终结果

  \Delta = 2necos\gamma + \frac{\lambda}{2}

等厚干涉

![[Pasted image 20240704131540.png]]
最终结果

\Delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}

空气劈尖

相邻亮条纹或暗条纹的厚度差e_{k + 1} - e_{k} = \frac{\lambda}{2}
相邻条纹间距为l, \theta很小，则

\theta = sin\theta = \frac{\lambda}{2l} = tan\theta = \frac{h}{L}

h \frac{\lambda{L}}{2l}

牛顿环

![[Pasted image 20240704132017.png]]

\begin{aligned}
R^2 &= r^2 + (R - e)^2\\
e &= \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}

带入暗纹公式

r = \sqrt{kR\lambda}

牛顿环中心为暗纹

第八节 惠更斯-菲涅耳原理和衍射

惠更斯-菲涅耳原理

衍射现象的分类

1. 菲涅耳衍射
   当光源到衍射屏或接受屏到衍射屏的距离不是无限大时，或两者都不是无限大时发生的衍射现象。
   在肥腻而衍射中，入射光或衍射光不是平行光，或两者都不是平行光

2. 夫琅和费衍射
   当光源到衍射屏或接受屏到衍射屏的距离是无限大时，发生的衍射现象
   此时入射光和衍射到接受屏上任意一点的光都是平行光

   第九节 单缝和圆孔的夫琅和费衍射

   单缝的夫琅和费衍射

   ![[Pasted image 20240704133119.png]]
   把单缝分割成许多作为子波源的窄条，子波射线与入射方向的夹角\varphi称为衍射角
   \varphi=0方向上的子波射线，因为光程相等，必定干涉加强，形成中央量条纹，光强称为主极大，用I_0表示

衍射角为\varphi的子波汇聚于点P，点P的光强取决于子波到此的光程差

\Delta = BC = asin\varphi

相位差

\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta = \frac{2\pi{a}}{\lambda}sin\varphi

![[Pasted image 20240704133717.png]]
mathjax\overline{AB} = 2Rsin\alpha
带入\alpha = \frac{\delta}{2} R = \frac{\widehat{AB}}{\delta}

A_P = \widehat{AB}\frac{sin\alpha}{\alpha} = A_0\frac{sin\alpha}{\alpha}

所以

I_p = I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2

其中\alpha = \frac{\delta}{2} = \frac{\pi{a}}{\lambda}sin\varphi

光强分布规律

• \varphi相同的地方光强相同，条纹平行于单缝
• \varphi = 0时光强最大，为I_0称为主极大
• \alpha = k\pi时，光强为零，是暗条纹。第一暗条纹\varphi_0 = arcsin{\frac{\lambda}{a}} = \frac{\lambda}{a}
• 点O到第一暗条纹中心的角距离，称为主机大的半角宽度\varphi_0
• 两相邻暗条纹之间的亮条纹，称为次极大，可由A_p = A_0\frac{sin\alpha}{\alpha}的微分等于零求得
  

  圆孔的夫琅和费衍射

  把单缝换成圆孔，则中央是一个明亮的圆斑，称为艾里斑
  光强分布

  E = \frac{2E_m}{\pi{\alpha}}\int_{-1}^{1}sin(\alpha{\sqrt{1-x^2}})dx

  第一个零点

  \varphi_0 = arcsin1.22\frac{\lambda}{D}

  如果透镜L的焦距为f，则艾里斑半径为

  r_0 = f\varphi_0 = 1.22\frac{\lambda{f}}{D}

  第十节 衍射光栅

  衍射光栅

  由大量等宽度、等间距的平行狭缝构成的光学系统
  光栅中，透光缝宽a，刻痕宽b，a + b = d是常量

光栅衍射条纹是单缝衍射和缝间干涉的共同结果

N个狭缝的光栅夫琅和费衍射 光强分布公式

A_P = a_0\frac{sin\alpha}{\alpha}\frac{sinN\beta}{\beta}

其中a_0是单个狭缝在P引起的光振动的振幅， \alpha = \frac{\pi{a}}{\lambda}sin\varphi, \beta = \frac{\pi{d}}{\lambda}sin\varphi

光强分布特点

• 屏上任意一点的光强等于干涉光强和单缝衍射光强的乘积
• 主极大的衍射角应满足(a + b)sin\varphi = k\lambda，这就是光栅方程，决定主极大方向的公式
• 因单缝衍射的调制，各个主机大的光强不尽相同。但主极大上有\frac{sinN\beta}{sin\beta} = N，所以主极大的光强是单缝在该方向光强的N^2倍
• 单缝衍射的调制，使有些极大从接受屏上消失了，即缺极现象，\varphi满足(a + b)sin\varphi=k\lambda和单缝衍射极小asin\varphi=k'\lambda
• 白光照射光栅时，中央量条纹为白色，两侧对称地形成了光栅光谱
  

  第十一节 衍射规律的应用

  光学系统分辨本领的分析

X射线在晶体中的衍射

第十二节 信息光学

不考

第十三节 光的偏振态

自然光和线偏振光

自然光 可分解为两振幅相等，振动方向垂直，没有恒定相位关系的偏振光
线偏振光 光矢量只有一个振动方向
起偏器 自然光通过起偏器变成线偏振光

部分偏振光

振动状态处于自然光和线偏振光之间的光

第十四节 偏振光的获得和检测

我赌他不考！

第十五节 旋光现象和电磁场的光效应

不考

第十六节 光的吸收、色散和散射

不考

第十五章 波与粒子

第一节 黑体辐射

热辐射

组成物体的分子中都包含着带电粒子，当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁波，由于这种电磁辐射与物体的温度有关，故称热辐射

为了定量的描述物体的热辐射，我们引入辐射出射度，简称辐出度，定义为在单位时间内从物体表面单位面积上发射出各种波长的电磁波能量的总和

定义

M_\lambda(T) = \frac{dM(T)}{d\lambda}

为该物体的 单射辐出度，简称单射辐出度
辐出度

M(T) = \int_{0}^{\infty}M_\lambda(T)d\lambda

单射吸收比\alpha(\lambda, T)定义为，温度为T的物体吸收波长在\lambda到\lambda + d\lambda范围内的电磁波能量与相应波长的入射电磁波能量之比
单色反射比\gamma(\lambda, T)定义为，温度为T的物体反射波长在\lambda到\lambda + d\lambda范围内的电磁波能量与相应波长的入社电磁波能量之比

因为物体是不透明的，因此有

\alpha(\lambda, T) + \gamma(\lambda, T) = 1

假如有一个物体在任何温度下对任何波长的入社辐射能的吸收比都等于一，则称这种理想物体为绝对黑体

用不透明材料制成的带有小孔的空心容器，通过小孔射入的电磁波经过很多次反射之后，射出的电磁波就是黑体辐射

在平衡辐射下

\frac{M_{\lambda_1}}{\alpha_1}s = \frac{M_{\lambda_2}}{\alpha_2} = \cdots = \frac{M_{\lambda_0}}{\alpha_0}

根据绝对黑体的性质\alpha_0 = 1，因此

\frac{M_{\lambda}}{\alpha} = M_{\lambda_0}

这表示，任何物体的单色辐出度和单色吸收比之比，等于统一温度下绝对黑体的单射辐出度
这就是基尔霍夫辐射定律

黑体辐射的基本规律

斯特藩-玻尔兹曼定律

M_0(T) = \sigma{T^4}

维恩位移定律

\lambda_m{T} = b

b是一个常数

普朗克能量子假设

第二节 光电效应

高中学的非常熟练 无需复习

第三节 康普顿效应

不考

第四节 氢原子光谱和玻尔的量子论

不考

第五节 微观粒子的波动性

只考物质波 高中学的非常熟练 无需复习