第五章 电容元件和电感元件
电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的激励有关，是无记忆的或者说及时的
而电容和电感涉及对电压电流的微分积分运算，因而称为动态元件
动态电路：至少包含一个动态元件的电路
电容
电容元件
理想电容器是一种储存电荷或者说储存电场能量的器件，其q - u图像过原点
电容是电荷和电压约束的元件
线性非时变电容
特性曲线是通过原点的直线，且不随时间而改变
c = \frac{q(t)}{u(t)}C反映了电容元件储存电荷的能力
电容元件的伏安关系
微分关系
i = \frac{dq}{dt} = C\frac{du}{dt}电流i与u无关，而与u的变化率有关
积分关系
u(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(t)dt电容电压取决于从-\infty到t时刻的所有电流，电容具有记忆电流的作用
电容电压的连续性
若电容电流在闭区间[t_a, t_b]内有界，则电容电压在开区间(t_a, t_b)是连续的
除非由一个无限大的电流通过电容，否则，电容电压不能跃变
电容的功率
p(t) = u(t)i(t)电容的贮能
w(t) = \int_{-\infty}^{t}p(t)dt = \int_{-\infty}^{t}u(t)i(t)dt = \int_{-\infty}^{t}C \cdot u(t) du = \frac{1}{2}Cu^2(t) \Bigg|_{-\infty}^{t}- 电容的贮能与当时的电压值有关，而与电流无关
- 电容电压不能跃变，实质上是贮能不能跃变
电感
电感元件
理想电感是一种储存磁场能量的器件，其\Psi - i图像过原点
本质上是一种抵挡电流变化的元件
线性非时变电容
特性曲线是通过原点的直线，且不随时间而改变
\Psi(t) = Li(t)L体现了电感将感应的电能存储为磁能的能力
电感元件的伏安关系
微分关系
u(t) = \frac{d\Psi}{dt} = L\frac{di}{dt}即法拉第电磁感应定律
电感的电压与电流无关，而与电流的变化率有关
积分关系
i(t) = \frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}u(t)dt = \frac{\Psi}{t}电感元件也具有记忆性，电感具有记忆电压的作用
电感电流的连续性
若电感电压在闭区间[t_a, t_b]内有界，则电感电流在开区间(t_a, t_b)是连续的
除非由一个无限大的电压加在电感，否则，电感电压不能跃变
电感的功率
电感的贮能
w(t) = \frac{1}{2}Li^2(t)- 电感的贮能与当时的电流值有关，而与电压无关
- 电感电流不能跃变，实质上是贮能不能跃变
电路的状态
分析动态电路时，除了要给出电路的结构、参数和激励外，还要给出储能元件初始时刻的贮能，否则就求不出解答。
电路状态：电路中贮能元件的贮能状况叫电路的状态
我们把某时刻电容电压和电感电流称为该时刻电路的状态
第六章 一阶电路
一阶电路：只含有一个动态元件的线性、时不变电路，这种电路可以用一阶的线性的常系数微分方程来描述。
以下针对直流激励，对于非直流激励，需要列写微分方程求解
分解方法在动态电路分析中的应用
分解、等效
可将独立电源和电阻组成的单口网络用戴维南等效电路代替，然后列出方程
列写方程
- 以状态变量为求解量，列写常微分方程
- 求解微分方程，得到
u_C或i_L - 利用置换定理，将动态元件置换为电源，得到一个电阻电路，然后进行分析
零状态响应
定义
电路的初始状态为零，仅由t \geq 0时外加激励所产生的响应
稳态：直流稳态即电压的电路、电流为常量；交流稳态即电路的电压、电流瞬时值为随时间而变化的周期量
换路：电路中电源的接入、消失或变动以及元件参数和电路结构的变化都称为环路，通常情况下，换路瞬间电容电压和电感电流保持不变
瞬态：指电路从有关稳态到另一个稳态的过程。条件：换路、由储能元件
RC电路的零状态响应
![[df-1.jpg]]
如同所示，u(c)_{0-} =0。t = 0时开关闭合， RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电
列出方程
RC\frac{du_c}{dt} + u_c = u_s不难得出
\begin{aligned}
u_c(t) &= (u_0 - u_s)e^{-\frac{t}{RC}} + u_s \\
u_c(t) &= u_s(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
\end{aligned}u_c从0按指数规律上升，一直到稳态值u_s\tau = RC是电容充电的时间常数，\tau也是一阶电路的唯一参数- 当
t = 4\tau时，u_c上升到稳态值的98.2，认为电路进入稳态 u_c(t) = u_s(1 - e^{-\frac{t}{RC}})中-u_se^{-\frac{t}{\tau}}称为固有响应，它的形式与输入无关，也称暂态响应u_c(t) = u_s(1 - e^{-\frac{t}{RC}})中u_s称为响应变量（或称稳态响应），其形式与输入形式相同
电感电路的零状态响应
根据对偶性
\begin{aligned}
i_L(t) &= (i_0 - i_s)e^{-\frac{t}{\frac{L}{R}}} + i_s \\
i_L(t) &= i_s(1 - e^{-\frac{t}{\frac{L}{R}}})
\end{aligned}\tau = \frac{L}{R}
一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大a倍，零状态响应也扩大a倍，如有多个电源作用，可用叠加定理来求解零状态响应
阶跃响应 冲激响应
阶跃响应和冲激响应是两种重要的零状态响应
阶跃响应
单位阶跃函数
\begin{equation}
\varepsilon(t) =
\begin{cases}
0, ~~~t \leq 0_- \\
1, ~~~t \geq 0_+
\end{cases}
\end{equation}延时单位阶跃函数
\begin{equation}
\varepsilon(t - t_0) =
\begin{cases}
0, ~~~t \leq t_{0_-} \\
1, ~~~t \geq t_{0_+}
\end{cases}
\end{equation}阶跃函数的电路实现
![[df-2.png]]
用单位阶跃函数可以方便地表示电源接入
阶跃函数也成为开关函数，可以方便地描述环路动作
单位阶跃响应
当激励函数为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，记为s(t)
单位阶跃响应是时不变的，即延时单位阶跃函数下响应为s(t - t_0)
分段常量信号响应的计算
可以把分段常量信号分解成多个阶跃函数的叠加，求出各个阶跃函数的零状态响应，然后叠加即可
如果初始状态不为零，再加上零输入响应
零输入响应
定义
初始时刻之后，电路没有外界激励，仅仅依靠储能元件的初始储能产生的响应
RC电路
u(t) = u_0e^{-\frac{t}{\tau}}RL电路
i(t) = i_0e^{-\frac{t}{\tau}}- 一阶电路的零输入响应按指数衰减
- 一阶电路的零输入响应代表了一阶电路的固有性质，叫固有响应，
s = -\frac{1}{\tau}叫做固有频率 - 一阶线性电路的零输入响应是初始状态的线性函数
冲激函数
单位冲激函数
\begin{equation} \begin{cases} \delta(t) = 0, ~~~ t \neq 0\\ \int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt = 1 \end{cases} \end{equation}\begin{equation} \begin{cases} \delta(t) = 0, ~~~ t \neq 0\\ \delta(t) = \frac{d\varepsilon(t)}{dt} \end{cases} \end{equation} - 筛分特性：
f(t)\varepsilon(t) = f(0)\varepsilon(t)，f(t)\delta(t - t_0) = f(t_0)\delta(t-t_0)
电路中的冲激现象
- 冲激的产生
i(t) = C\frac{du}{dt} = C\frac{d\varepsilon(t)}{dt} = C\delta(t) - 产生冲激的原因： 1）有冲激电源 2）电容与电压源并联（电感与电流源并联） 3）不同初值的电容并联
冲激响应
单位冲激函数作用下的零状态响应为冲激响应，并且冲激响应
h(t) = \frac{ds(t)}{dt}线性动态电路的叠加原理
完全响应：电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
完全响应 = 暂态响应（固有响应） + 稳态响应（强制响应）
u_c = (u_0 - i_sR)e^{-\frac{t}{\tau}} + i_sR第一项是齐次方程的通解，是固有响应
第二项是非齐次方程的特解，是强制响应，如果它表现为常量或者周期函数，称为稳态响应
所有的线性动态电路都可以分解成零状态响应和零输入响应，但不一定都能分解成暂态响应和稳态响应
线性动态电路的叠加定理也适用于高阶电路
三要素法
三要素：f(0_+), f(\infty), t=\tau
对于直流激励的一阶电路，只要知道三要素，就可以写出响应
f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}步骤
1.求初始值f(0_+)
如果处于稳态，电容视作开路，电感视作短路
画出t = 0时的等效电路，换路时电容电压和电感电流一般不跃变，电容用电压为u_c(0_-)的电压源替换，电感用电流为i_L(0_-)的电流源替换，然后在电阻电路上计算f(0_+)
2.求稳态值f(\infty)
电容开路 电感短路 求解即可
3.求时间常数\tau
求从动态元件两端看进去的戴维南等效电阻R_0
RC电路：\tau = {RC}LC电路：\tau = \frac{L}{R}
4.写出方程
f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}
第八章 交流动态电路的相量分析法
概述
正弦激励的动态电路，其响应和激励是同频的，该电路称为正弦稳态电路
复数
复数的表示形式
- 代数形式：
F = a + jb - 三角形式：
F = |F|(cos\theta + jsin\theta) - 指数形式：
e^{j\theta} = cos\theta + jsin\theta - 极坐标形式
F = |F|\angle\theta
振幅相量
正弦电压
u(t) = U_mcos(\omega{t} + \psi) = U_mcos(2\pi{f}t + \psi) = U_mcos(\frac{2\pi}{T} + \psi)其中振幅U_m，角频率\omega（或者频率，周期）和初相位\psi被称为正弦波的三特征
相量推导
\begin{equation}
\begin{aligned}
u(t) &= U_mcos(\omega t + \psi)\\
&= U_mRe[e^{j(\omega t + \psi)}]\\
&= U_mRe[e^{j\omega t}e^{j\psi}]\\
\end{aligned}
\end{equation}令\dot{U_m} = U_mE^{j\psi}
u(t) = Re[\dot{U}_me^{j\omega t}] = Re[\dot{U}_m\angle \omega t]相量\dot{U}_m是一个复值函数，只能代表正弦信号，不等于正弦信号
\begin{aligned}
\dot{U}_m \Leftrightarrow u(t) \\
u(t) = Re(\dot{U}_m\angle \omega t)
\end{aligned}\dot{U}_m称为振幅相量，\dot{U}称为有效值相量
相量法求解微分方程的特解
定理1 唯一性定理
\dot{A} = \dot{B} \Leftrightarrow Re[{\dot{A}e^{j\omega t}}] = Re[{\dot{B}e^{j\omega t}}] 定理2 线性定理
\begin{aligned}
&\dot{A} \Leftrightarrow x_1(t)\\
&\dot{B} \Leftrightarrow x_2(t)\\
&a\dot{A} + b\dot{B} = ax_1(t) + bx_2(t)
\end{aligned}定理3 微分定理
若
\dot{A} \Leftrightarrow f(t)则
\begin{aligned}
j\omega \dot{A} \Leftrightarrow \frac{df(t)}{dt} \\
(j\omega)^n\dot{A} \Leftrightarrow d^n\frac{f^n(t)}{dt^n}
\end{aligned}利用这三个定理，可以把微分方程转化为代数方程求解
相量形式的基尔霍夫定理
直接给出最终形式
\sum{\dot{U}_m} = 0 ~~~~ \sum{\dot{I}_m} = 0相量形式的三种基本元件的伏安关系
电阻
u = iR ~~~ \dot{U}_m = R\dot{I}_m电容
\begin{aligned}
i(t) = C\frac{du}{dt} ~~~~ \dot{I}_m = j\omega C \dot{U}_m\\
\dot{U}_m = \frac{1}{j\omega C}\dot{I}_m ~~~~ \theta_u = \theta_i - \frac{\pi}{2}
\end{aligned}电感
\begin{aligned}
&u(t) = L\frac{di}{dt} ~~~~ \dot{U}_m = j\omega L \dot{I}_m\\
&\theta_u = \theta_i + \frac{\pi}{2}
\end{aligned}阻抗和导纳
阻抗
阻抗：二端电路的端口电压相量和电流相量之比
\begin{aligned}
Z &= \frac{\dot{U}_m}{\dot{I}_m} = \frac{{U}_m}{{I}_m}e^{j(\theta_u - \theta_i)} \\
&= |Z|e^{j\phi_Z} = |Z|cos\phi_Z + j|Z|sin\phi_Z\\
&= R + jX
\end{aligned}\phi_Z > 0电压超前于电流，电路呈电感性\phi_Z < 0电流超前于电压，电路呈电容性\phi_Z = 0电压与电流同相，电路呈电阻性
其中X = Im[Z]称为电抗
导纳
导纳：阻抗的导数
\begin{aligned}
Y = \frac{1}{Z} = G + jB
\end{aligned}其中B = Im[Y]称为电纳
阻抗和导纳的转化
Z = R + jX， Y = G + jB
\begin{aligned}
Y &= \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} \\
&= \frac{R - jX}{R^2 + X^2}
\end{aligned}G = \frac{R}{R^2 + X^2} B = -\frac{X}{R^2 + X^2}
相量法分析正弦稳态电路
引入相量、阻抗、导纳和相量模型后，KCL、KVL和VAR的相量形式和直流电路完全一致
有效值和有效值相量
让i(t)和I分别通过一个电阻R，如果在一个周期内电阻消耗的能量相同，则I是i(t)的一个表征，称为i(t)的有效值
第九章 正弦稳态电路的功率和能量
电阻的功率
瞬时功率
\begin{aligned}
u(t) &= U_mcos(\omega t + \theta) \\
i(t) &= I_mcos(\omega t + \theta) \\
p(t) &= U_mI_mcos^2(\omega t + \theta)\\
&= UI( 1 + cos(2\omega t + 2\theta))
\end{aligned}- 在正弦稳态的情况下
p(t) \geq 0，电阻吸收的瞬时功率不会为负
平均功率（有功功率）
P = \frac{1}{T}\int_0^TUI(1 + cos(2\omega t + 2\theta))dt = UI - 正弦稳态情况下，电阻的平均功率只于
UI有关，与\omega ~\theta无关 - 若使用有效值，则电阻平均功率的计算表达式和直流电路下相同
- 平均功率反映了能量消耗的情况，称为有功功率
电感的功率
瞬时功率
\begin{aligned} \dot{U} &= j\omega L \dot{I}\\\\ i(t) &= \frac{U_m}{\omega L}cos(\omega t - \frac{\pi}{2}) = I_msin(\omega t)\\ p(t) &= U_mI_mcos(\omega t)sin(\omega t)\\ &= UIsin(2\omega t)\\ \end{aligned} - 电感的功率可正可负
平均功率
P = \frac{1}{T}\int_0^TUIsin(2\omega t) dt = 0 - 电感的平均功率为零
瞬时储能
w_L(t) = \frac{1}{2}Li^2(t) = \frac{LI_m^2}{2}sin^2(\omega t) = \frac{LI^2}{2}(1 - cos\omega(2\omega t))- 电感的储能随时间周期性变化，并且不为负
平均储能
W = \frac{1}{T}\int_0^Tw_L(t)dt = \frac{1}{2}LI^2电容的功率
瞬时功率
\begin{aligned}
i(t) &= U_m\omega Ccos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = -i_msin(\omega t)\\
p(t) &= -UIsin(2\omega t)
\end{aligned}- 电容的瞬时功率可正可负
平均功率
P = 0 - 电容的平均功率为零
瞬时储能
w_C(t) = \frac{1}{2}Cu^2 = \frac{CU^2}{2}(1 + cos(2\omega t))- 电容的瞬时储能不为负
平均储能
W = \frac{1}{2}CU^2单口网络的功率
\begin{aligned}
u(t) &= U_mcos(\omega t + \phi_u)\\
i(t) &= I_mcos(\omega t + \phi_i)
\end{aligned}瞬时功率
\begin{aligned}
p(t) &= U_mI_mcos(\omega t + \phi_u)cos(\omega t + \phi_i) \\
&= UIcos(2\omega t + \phi_u + \phi_i) + UIcos(\phi_u - \phi_i)
\end{aligned}平均功率
P = \frac{1}{T}\int_0^Tp(t)dt = UIcos(\phi_u - \phi_i) = UIcos(\phi)\phi = \phi_u - \phi_i，cos\phi称为功率因数
若网络只包含RLC，由P \geq 0可得|\phi| \leq \frac{\pi}{2}
视在功率
视在功率反应电气设备的容量
S = UI有功功率
反映了单口网络消耗能量的情况，与电阻有关
P = UIcos\phi_Z无功功率
无功功率反映了单口网络中 动态元件与端口电源之间的能量往来的规模
Q = UIsin\phi_Z提高功率因数
- 改进设备
- 并联电容
复功率
S = P + jQ正弦稳态电路的最大功率传输定理
直接给出最终结果
- 若
Z = R + jX，R和X都可以独立变化，那么Z = Z_S^*时，负载的吸收功率最大 - 若
Z = |Z|\phi_Z，若|Z|，可变\phi_Z不变，那么|Z| = |Z_S|时，负载的吸收功率最大
第十章 频率响应
此前的分析中频率都是常数，而实际情况中频率不是单一的
本章将分析电源频率的变化对响应的影响再论阻抗和导纳
Z = |Z|\theta_Z阻抗的摸反映了电压和电流有效值的比例关系
阻抗的相位角反映了电压和电流的相位关系
他们都是\omega的函数
频率响应包含
|Z|和频率的关系，称为幅频特性\theta_Z和频率的关系，称为相频特性
正弦稳态网络函数
网络函数
网络函数：单激励时响应相量与激励相量之比
H(j\omega) = \frac{\dot{R}}{\dot{E}} = |H(j\omega)|\angle\phi(j\omega)网络函数包括
- 策动点函数： 同一对端钮上响应相量与激励相量之比
- 转移函数： 不同对端钮上响应相量与激励相量之比
网络函数的求法
滤波器
根据幅频特性，网络可分为
- 低通网络：
|H(j\omega)|随\omega增大而减小 - 高通网络：
|H(j\omega)|随\omega建校而增大 - 带通网络：
|H(j\omega)|在\omega很小或很大时趋于零，在某一频率段显著增大 - 带阻网络：
|H(j\omega)|在很小或者很大时显著增大，在某一频率段趋于零
根据相频特性，网络可分为
- 超前网络：
\varphi(\omega) > 0 - 滞后网络：
\varphi(\omega) < 0
简单一阶低通网络
\begin{aligned}
{A}_u &= \frac{\dot{U}_2}{\dot{U}_1} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{1}{1 + j\omega RC}\\
A_u &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\angle -arctan(\omega RC)
\end{aligned}幅频响应
|A_u| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}- 具有低通性质
当\omega = \omega_c = \frac{1}{RC} = \frac{1}{\tau}时，\frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}，此时输出电压为最大电压的0.707倍，w_c称为截止频率
此时单口网络获得的功率是最大功率的一半，因此w_c又叫半功率点频率
0 - w_c称为低通网络的通频带
A_u = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}相频响应
\varphi = -arctan(\omega RC)- 滞后网络
一阶低通滤波器的一般形式
A_u = k\frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}简单一阶高通网络
A_u = \frac{1}{1 - j\frac{1}{\omega RC}}幅频特性
|A_u| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\omega RC})^2}}- 具有高通特性
w_c = \frac{1}{RC}
通频带w_c - \infty
相频特性
\varphi = arctan(\frac{1}{\omega RC})超前网络
一阶高通滤波器的一般形式
A_u = k\frac{1}{1 - j\frac{\omega_c}{\omega}}RLC电路的频率响应
A_u = \frac{j\omega RC}{1 - \omega^2LC + j\omega RC} = \frac{\omega RC}{(1 - \omega^2LC)^2 + (\omega RC)^2}\angle(\frac{\pi}{2} - arctan\frac{\omega RC}{1 - \omega^2RC})幅频响应
|A_u| = \frac{\omega RC}{(1 - \omega^2LC)^2 + (\omega RC)^2}- 具有带通网络性质
相频响应
\angle(\frac{\pi}{2} - arctan\frac{\omega RC}{1 - \omega^2RC})
超前滞后
带通网络的几个参数
- 谐振频率：
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}，当\omega = \omega_0时，A_u最大，并且此时电路呈现纯电阻性 - 半功率点频率：
\omega_{1,2} = \pm\frac{R}{2L} + \sqrt{(\frac{R}{2L})^2 + \frac{1}{LC}} - 通频带 ：
BW = \omega_2 - \omega_1 = \frac{R}{L} - 中心频率定义为
\frac{\omega_1+ \omega_2}{2},RLC电路的中心频率一般不等于谐振频率，但是在高Q下，中心频率约等于谐振频率 - 品质因数
Q = \frac{\omega_0}{\omega_2 - \omega_1} = \frac{\omega_0}{BW}，Q越高，谐振曲线越尖锐，选择频率的能力越强
谐振电路的选择性和通频带宽度是一对矛盾。选择性好的,通频带宽度窄;选择性差的,通频带就宽
谐振电路的性质
谐振时电路的特点
- 电抗为零，阻抗最小
- 电流最大，电压电流同相
\dot{U}_R = \dot{U}_S\dot{U}_L = jQ\dot{U}_S\dot{U}_C = -jQ\dot{U}_S
谐振时,电感电压与电容电压等值异号,有效值都为输入电压有效值的 Q 倍。串联谐振又称为电压谐振
~~写不完了 不写了 上题！